微積分考試分為AB與BC，與AB相比，BC包含的內(nèi)容更多、難度更高。考點(diǎn)包括極限、微分、積分(不定積分、定積分)、微分方程、級(jí)數(shù)(AB無此部分)、應(yīng)用。

  1極限部分

  這部分是微積分的基礎(chǔ)，包含：

  (1)會(huì)判斷極限存在或不存在，當(dāng)極限存在時(shí)，如何求出該極限

  (2)利用極限刻畫函數(shù)的形態(tài)——漸近線(asymptote)，研究函數(shù)的性質(zhì)——連續(xù)性(continuous)。

  1.1 極限存在的判定標(biāo)準(zhǔn)：左極限與右極限均存在且相等

  1.2 求極限的方法

  求a：先將a代入表達(dá)式，如果可以求出某一確定的數(shù)值，則該數(shù)值即為此函數(shù)的極限。

  1.2.1 有理函數(shù)(rational function)

  一般來說都是0/0或infinity/ infinity的形式，

  求a：通過因式分解將0因子約掉。

  求無窮大(infinity)：分子分母同時(shí)除以該式子的最高次項(xiàng)。

  另外也可用L’Hopital’sRule來做。

  1.2.2 洛必達(dá)法則(L’Hopital’s Rule)

  具體使用時(shí)，如果所求極限是0/0或infinity/ infinity的形式，可以將分子分母兩部分分別求導(dǎo)，再計(jì)算求完導(dǎo)數(shù)之后的極限。

  1.2.3 等價(jià)無窮小代換

  這一方法大部分國(guó)外教材與輔導(dǎo)書(James，Thomas，F(xiàn)inney，Barron)都未提及，但掌握之后會(huì)給運(yùn)算帶來相當(dāng)大的便利。

  1.2.4 冪指函數(shù)

  即

  這種類型的函數(shù)，做法是通過ln將其變換成指數(shù)型函數(shù)來進(jìn)行運(yùn)算。

  1.2.5

  0乘有界等于0

  1.3 對(duì)于極限不存在，需要掌握左右極限不相等、無窮大和震蕩三種

  1.4 極限的應(yīng)用

  1.4.1 函數(shù)的連續(xù)性(continuity)

  如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值，則稱該函數(shù)在這一點(diǎn)連續(xù)。判斷函數(shù)在某一點(diǎn)是否連續(xù)，必須要分別考察其左極限與右極限，如果左極限與右極限相等則說明極限存在，進(jìn)而與該點(diǎn)的函數(shù)值比較，如果相等即為連續(xù)，不等即為間斷。

  1.4.2 間斷點(diǎn)的類型(discontinuity)

  一共分為三種removable，jump，infinite

  1.4.3 當(dāng)函數(shù)在某一閉區(qū)間上連續(xù)時(shí)，則有三個(gè)定理

  (1) The extremevalue theorem (EVT)

  (2) Theintermediate value theorem (IVT)

  (3) The zeropoint theorem (Bolzano theorem)

  1.4.4 漸近線(asymptote)

  分為水平(horizontal)與垂直(vertical)。

  其中水平的求法是分別求兩個(gè)infinity的極限，如果存在則可判定有水平漸近線。

  垂直的求法是求某一點(diǎn)的極限，如果該極限等于無窮(infinity)，則可判定通過在這一點(diǎn)存在垂直漸近線。

  水平(horizontal)：

  垂直(vertical)：

  2導(dǎo)數(shù)與微分

  這一部分的核心在于如何求出一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。2.1 導(dǎo)數(shù)與微分的定義

  簡(jiǎn)單來說，導(dǎo)數(shù)是切線的斜率(slope)，微分是切線的改變量。

  2.2 求函數(shù)不同表示形式的導(dǎo)數(shù)

  顯函數(shù)，反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，隱函數(shù)，參數(shù)方程，極坐標(biāo)

  2.2 高階導(dǎo)數(shù)  要注意的一點(diǎn)以哪個(gè)變量為基準(zhǔn)求導(dǎo)數(shù)，默認(rèn)是x，但也有特殊情況，如respectto sinx，則是將sinx看成一個(gè)整體進(jìn)行求解。

  它是在導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)之上再求一次導(dǎo)數(shù)，常用的是二階導(dǎo)數(shù)(second derivative)

  2.3 導(dǎo)數(shù)的直接應(yīng)用

  導(dǎo)數(shù)的直接應(yīng)用是求切線和法線。

  求切線的時(shí)候需要注意的是所給的點(diǎn)是否在已知曲線上，如果在則可直接求導(dǎo)代數(shù)求出切線斜率(slope)，如果不在則需要先設(shè)出切點(diǎn)，而后通過解方程的形式把切點(diǎn)和斜率解出來，從而得出切線。

  2.4 可導(dǎo)與連續(xù)

  在某一點(diǎn)可導(dǎo)必然連續(xù)，而連續(xù)則不一定可導(dǎo)。

  2.5 中值定理(mean value theorem)

  從幾何圖形上來看，當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)時(shí)，必然存在一點(diǎn)c使得過c點(diǎn)切線的斜率等于端點(diǎn)連線的斜率。

  利用中值定理可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行估值和給導(dǎo)數(shù)估值。

  3導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用

  3.1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

  函數(shù)的增減性可由一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷，凹凸性可由二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷。

  3.2 駐點(diǎn)與拐點(diǎn)(critical and inflection point)

  不同的教材對(duì)這兩個(gè)點(diǎn)的定義不同，我們這里采用比較通用的

  3.3 求函數(shù)在某一閉區(qū)間上的max and min

  極值(local/relativemaximum and minimum)：鄰域內(nèi)最大或最小

  最值(global/absolutemaximum and minimum)：整個(gè)區(qū)間內(nèi)最大或最小

  對(duì)local來說，步驟如下：

  (1)求出一階導(dǎo)數(shù)等于0和不存在的點(diǎn)

  (2)利用一階導(dǎo)數(shù)是否改變符號(hào)和二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定。

  對(duì)global來說，步驟如下：

  (1)求出一階導(dǎo)數(shù)等于0和不存在的點(diǎn)

  (2)求出所有的函數(shù)值，最大的即為global max，最小的即為global min。

  3.4 物理應(yīng)用：運(yùn)動(dòng)

  運(yùn)動(dòng)分為直線運(yùn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)，最原始變量為位置函數(shù)，由位置函數(shù)來定義位移(displacement)和路程(distance)，在位移(displacement)的基礎(chǔ)上定義速度(velocity)和速率(speed)，在速度的基礎(chǔ)上定義加速度(acceleration)。

  平面運(yùn)動(dòng)的位置函數(shù)用向量(vector)來表示，因此后面所有的變量都是向量的形式。

  直線運(yùn)動(dòng)的主要問題

  (1)求加速與減速區(qū)間

  (2)求在哪一時(shí)刻改變運(yùn)動(dòng)的方向

  (3)求某一時(shí)間段內(nèi)的路程(distance)

  平面運(yùn)動(dòng)的主要問題

  (1)速度向量、速率和加速度向量

  (2)求某一時(shí)間段內(nèi)的位移(displacement)和路程(distance)

  3.5 相關(guān)變化率

  這一部分是應(yīng)用題，現(xiàn)實(shí)生活中的某一個(gè)量隨時(shí)間變化而變化，進(jìn)而求:

  (1)某一時(shí)刻該量的瞬時(shí)變化率

  (2)某一時(shí)間段內(nèi)平均變化率

  (3)某一時(shí)間段內(nèi)的累積量(積分的應(yīng)用)

  4不定積分和定積分

  4.1

  與導(dǎo)數(shù)類似，不定積分這一部分主要是它的求法，基本的積分公式與運(yùn)算必須非常熟練。

  (1)換元法(substitution)：將被積函數(shù)的某一部分用另外的變量代替，從而將被積函數(shù)化簡(jiǎn)，使用積分基本公式得出結(jié)果。

  (2)分部積分法(integral by parts)：適用于求兩類不同函數(shù)乘積的積分，核心是通過交換來改變被積函數(shù)，從而將難求的變成容易求的。

  (3)有理函數(shù)積分：對(duì)于分母是1次和2次的形式有固定的套路，掌握即可。

  4.2 定積分

  1.黎曼和(Riemann sum)

  使用近似逼近的方式來求面積，常用的是左端點(diǎn)、右端點(diǎn)、中點(diǎn)、梯形來做估計(jì)，步驟如下

  (1)將區(qū)間等分成n份(也可不等分)

  (2)按照預(yù)先設(shè)定的規(guī)則求出每一部分的面積

  (3)加總。

  利用黎曼和對(duì)定積分或面積進(jìn)行估值，需要比較估計(jì)值和真實(shí)值的大小，可比較的是左端點(diǎn)、右端點(diǎn)和梯形三種估計(jì)方法，中點(diǎn)由于大小不易確定，較少出現(xiàn)。

  黎曼積分則是在加總之后求極限，那么該極限值應(yīng)該等于圖形面積的真實(shí)值，也就是定積分的值(黎曼可積)。

  2.求定積分的基本方法

  牛頓-萊布尼茨公式，使用該公式時(shí)先求不定積分，再代入數(shù)值，因此不定積分的方法都可以在這里使用。但是需要注意的是，使用換元法的時(shí)候，變量的取值范圍會(huì)發(fā)生變化。

  3.求定積分的特殊方法

  (1)對(duì)于某些規(guī)則圖形(三角形、圓等)可用其幾何意義直接算出面積，再利用定積分和面積之間的關(guān)系來求

  (2)利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)來求。

  4.積分中值定理

  求函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上的平均值或積分中值，使用如下公式即可。

  5.變限積分

  當(dāng)被積函數(shù)確定時(shí)，積分值會(huì)隨著積分區(qū)間的變化而變化，因此可將積分值看做積分區(qū)間的函數(shù)，其中需要掌握的是變限積分的求導(dǎo)。

  6.反常積分(improper integral)

  當(dāng)積分區(qū)間不是有限區(qū)間(即包含無窮大)或積分區(qū)間會(huì)使被積函數(shù)為無界的時(shí)候，求積分需要用到極限，如果極限存在，則稱積分收斂(converge)，不存在則稱為發(fā)散(diverge)。

  5定積分的應(yīng)用

  求面積、體積、弧長(zhǎng)

  5.1 面積

  求平面曲線圍成的平面圖形的面積，一般來說是給定一條或若干條曲線，求它與x軸、y軸或其他直線或曲線圍成圖形的面積。

  對(duì)于直角坐標(biāo)系，使用定積分的幾何意義來求，但需要注意的是面積永遠(yuǎn)是正數(shù)，而積分值有正有負(fù)，因此當(dāng)函數(shù)大小關(guān)系或區(qū)間的邊界發(fā)生變化時(shí)，要注意區(qū)別對(duì)待。

  5.2 極坐標(biāo)求面積

  面積公式與直角坐標(biāo)不同，特別需要注意的是積分的范圍，如果不好判斷，可用半徑來反求角的范圍。

  5.3 體積：

  求平行截面面積已知的立體圖形的體積和旋轉(zhuǎn)體體積，第一種圖形對(duì)截面面積求積分可得體積，第二種圖形有兩種求法，第一種也是對(duì)截面面積求積分，不過要注意旋轉(zhuǎn)截面是實(shí)心圓還是圓環(huán)，第二種是利用shell來求，掌握好展開后的圓柱殼的長(zhǎng)寬高即可。

  5.3 弧長(zhǎng)

  弧長(zhǎng)公式用四種，一般來說在考試中如果是不允許使用計(jì)算器的部分，只會(huì)要求考生列出計(jì)算公式，不要求算出數(shù)值，而允許使用計(jì)算器的部分則可利用計(jì)算器來計(jì)算弧長(zhǎng)的數(shù)值。

  6微分方程

  6.1 解微分方程：

  對(duì)變量可分離的微分方程，解法是將x和y分離后，等式兩邊同時(shí)求積分。

  6.2 斜率場(chǎng)(slope field)

  根據(jù)微分方程原函數(shù)每一點(diǎn)切線斜率計(jì)算出來，而后將與該點(diǎn)切線斜率相同的線段畫在坐標(biāo)系中，由此所形成的圖形即為斜率場(chǎng)。斜率場(chǎng)所描繪出的圖形即為微分方程的解。

  6.3 增長(zhǎng)模型

  分為三種：

  指數(shù)型增長(zhǎng)(exponentialgrowth)

  有限制的增長(zhǎng)(restrictedgrowth)

  邏輯斯蒂增長(zhǎng)(logisticgrowth)

  6.4 歐拉估值(Euler’s method)

  多次使用中值定理進(jìn)行估值，此時(shí)c不再任取，而是固定取每一步的起始值。

  7級(jí)數(shù)(series)

  級(jí)數(shù)共分為三部分：

  無窮級(jí)數(shù)(infiniteseries)、冪級(jí)數(shù)(powerseries)、泰勒級(jí)數(shù)(Taylorseries)。

  7.1 無窮級(jí)數(shù)

  分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)(positive)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)(alternating)。

  這部分的核心是如何判斷一個(gè)級(jí)數(shù)是收斂(converge)還是發(fā)散(diverge)。

  1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)(positive)

  判別法有三類五種，分別是積分(integral)、比值與根值(ratio and root)、比較及極限(comparison and limit comparison)。

  2 交錯(cuò)級(jí)數(shù)(alternating)

  萊布尼茨準(zhǔn)則(Leibniz)

  收斂(converge)分為絕對(duì)收斂(absolute converge)和條件收斂(conditional converge)。

  3 判定順序

  (1)將級(jí)數(shù)加絕對(duì)值取正

  (2)對(duì)通項(xiàng)求極限，若極限不等于0，則可判定為發(fā)散，若等于0，則(2.1)利用積分(integral)、比值與根值(ratio and root)、比較及極限(comparison and limit comparison)判定，若收斂，則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，若發(fā)散，則(2.1.1)若原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，利用萊布尼茨準(zhǔn)則判斷，若收斂，則為條件收斂，否則為發(fā)散。

  7.2 冪級(jí)數(shù)

  利用比值法求出收斂半徑(radius of convergence)和收斂區(qū)間(收斂域)(interval of convergence)。

  冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)：

  冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)(1)連續(xù)(2)可微(3)可積。

  7.3 泰勒級(jí)數(shù)

  (1)將函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)

  (2)求泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

  AB與BC考點(diǎn)對(duì)比

  上海新航道AP課程培訓(xùn) 中心由美國(guó)COLLEGE BOARD授權(quán)，新航道 、KAPLAN教育集團(tuán)共同建設(shè)，由執(zhí)有AP教師培訓(xùn)證書的資深美國(guó)AP名師指導(dǎo)，目前我們的暑假班正在火熱招生中，你還在等什么!

請(qǐng)加新航道老師（微信號(hào)：shnc_2018）

百人留學(xué)備考群，名師答疑，助教監(jiān)督，分享最新資訊，領(lǐng)取獨(dú)家資料。掃碼免費(fèi)加入